Les plans d’expérience sont utilisés dans différents domaines telles que la formulation chimique de nouveaux produits cosmétique [MAT00], la création de recettes en industrie agro-alimentaire [SAB06] mais aussi l’optimisation de procédés industriels tel que le brasage ou le soudage [BID16].
On pourrait s’interroger de la manière dont les plans d’expériences peuvent servir à ces applications si variées. En réalité, dans tous les exemples cités, il y a toujours un objectif à atteindre lié au procédé, par exemple: une crème qui nourrit la peau sans provoquer d’allergie, une pâte à pizza qui croustille et qui cuit en 10 min, une connexion soudée qui a un bel aspect visuel et dont la tenue mécanique est celle requise pour l’application.
Dans tous les cas il y a également des variables, dits facteurs, par exemple: les compositions des matériaux à assembler (cuivre, acier, aluminium..) et leurs propriétés (température de fusion, conductivité thermique ..), l’intensité de soudage, la pression etc..
Les objectifs à atteindre peuvent être aussi variés que l’est notre imagination. Les facteurs peuvent dépendre entre autre du procédé choisi pour atteindre l’objectif.
Il faut savoir qu’il existe différentes méthodologies de plan d’expérience selon l’objectif à atteindre [KAR04], ci-dessous des exemples :
- Je cherche à identifier les facteurs influents d’un nouveau procédé à multi-paramètres → Je vais mener un plan d’expérience de criblage de facteurs
- Je cherche à quantifier les facteurs et prédire leur influence → je vais mener un plan d’expérience de modélisation
- Je cherche à obtenir les meilleures conditions de fonctionnement pour mon procédé → je vais mener un plan d’expérience d’optimisation
- Je cherche à prendre en compte les facteurs environnementaux, de l’usure des équipements etc.. → je vais mener un plan d’expérience de robustesse
Dans ce chapitre, la démarche du plan d’expérience est décrite au cas concret de l’optimisation du procédé de brasage par résistance. Il s’agit donc de modéliser et d’optimiser mon procédé.
A ce stade, il est convenu que la soudabilité opératoire et métallurgique sont démontrées. Le choix de la technique d’assemblage et des matériaux à assembler ne sont pas remis en cause lors du plan d’expérience.
La démarche d’optimisation de mon procédé se déroule en 7 étapes décrite dans la figure 1.
Ce diagramme nous rappelle immédiatement les étapes d’un DMAIC :
Le DOE n’est donc pas seulement partie intégrante du DMAIC mais suit lui-même un tel processus.
1. Définition des objectifs
La définition des objectifs à atteindre se fait à plusieurs, par exemple: le chef de projet, le responsable technique, le service qualité etc …
Il s’agit de remettre dans le contexte la démarche en se posant plusieurs questions détaillées ci-dessous (les réponses en bleu correspondent aux réponses données pour le cas concret).
- Quel est le contexte ? industrialisation d’un nouvel interconnecteur
- Quel(s) produit(s) sont concernés ? L’interconnecteur et le stator
- Quel est le délai de réalisation de l’optimisation du procédé ? Fin prévue avant la JPC pour JPC avec procédés optimisés
- Où est réalisé le plan d'expérience ? Sur la ligne de production → prévoir des créneaux sur ligne pour réalisation des essais
- Pourquoi réaliser un plan d’expérience ? Garantir la bonne tenue de la brasure entre l’interconnecteur et le stator durant la vie du produit (demande client)
2. Détermination de l’espace d’étude
2.1. Facteurs
La première étape consiste à constituer une liste exhaustive des facteurs qui peuvent influencer la qualité du process. Il est recommandé de les classer selon le diagramme d’Ishikawa (figure 2).
Ensuite, il faut déterminer quels facteurs vont devenir des facteurs expérimentaux en les classant selon qu’ils sont:
- étudiés : variables du plan d’expérience
- contrôlés : variables fixées dans les paramètres process
- non-contrôlés : variables qui peuvent changer d’un essai à un autre sans contrôle.
- blocs : variables qui peuvent être triés comme des différences d’un jour à l’autre
Le tableau 1 présente la démarche pour le cas de l’optimisation du procédé de brasage par résistance de l’exemple.
Tableau 1 : Classification des facteurs
2.2. Domaine d’étude
Les facteurs étudiés déterminent ainsi l’espace du plan d’expérience (Figure 3) or il manque encore des éléments pour obtenir le domaine d’étude (Figure 4).
Pour déterminer le domaine de l’étude, il faut connaître les configurations dites hautes et basses du plan d’expérience (figure 5).
Parfois l’expérience suffit à connaître les configurations hautes et basses du domaine du plan d’expérience mais il est généralement nécessaire de réaliser quelques essais pour déterminer ces bornes. Dans le cas de la brasure de l’inter-connecteur et du stator, les configurations obtenues sont détaillées dans le tableau 2.
Tableau 2 : Détails des configurations haute et basse du plan d’expérience
2.3. Réponses à optimiser
A ce stade, les réponses n’ont pas encore été décrites or ce sont elles qui vont déterminer le résultat de l’optimisation du process.
Dans la démarche, il faut se poser la question: Que cherchons-nous à atteindre ?
Dans le cas de l’exemple : la tenue mécanique de l’ensemble brasée est une réponse mais ce n’est pas la seule. A cela s'ajoutent des critères visuels liés à une marque d’indentation de l’électrode, au mouillage du métal d’apport, ou à la non dégradation du surmoulage plastique par exemple.
Pour chaque réponse il faut déterminer un critère de réussite. Le tableau 3 présente les critères d’optimisation pour la brasure de l’inter-connecteur.
Tableau 3: Critère d’optimisation de la brasure par résistance
2.4. Choix du modèle de plan d’expérience
Dans le cadre du plan d’expérience d’optimisation, le choix d’une matrice d’essai basée sur l’analyse des surfaces de réponses est adéquat.
L’appellation de surface de réponse dénote le souci de visualiser par une représentation géométrique ce qu’est la réponse d’un processus physique à des stimuli [DUP12]. La réponse étudiée Y, résulte de l’application d’une fonction de transfert qui caractérise le système avec les paramètres d’entrée (Figure 6).
![Fig 6 : Réponse d’une fonction de transfert à un stimuli modélisé par des variables ou champs aléatoires [DUP12]](https://ul6s.com/wp-content/uploads/2021/02/Picture7.png "Picture7")
Les surfaces de réponses polynomiales sont majoritairement utilisées en mécanique [DUP12]. Le modèle quadratique polynomial est un polynôme simple qui décrit la relation entre les facteurs étudiés et les réponses. Pour une réponse Y (par exemple la tenue mécanique), la relation avec les facteurs (par exemple le temps : A, et l’intensité B) peut être écrite selon [1.1].
Avec βx les coefficients de la surface de réponse sont déterminés par la méthode des moindres carrés à partir du plan d’expérience. Une illustration des surfaces de réponses est présentée en figure 7.
![Figure 7 : Illustation des surfaces de réponses [VIV16]](https://ul6s.com/wp-content/uploads/2021/02/Picture11.png "Picture11")
Ce type de modèle est adapté dans le cas où le domaine est bien défini et permet de réduire le nombre d'essais à réaliser.
3. Construire le plan d’expérience
L’utilisation des plans de Box-Behnken présente l’avantage de diminuer le nombre de points d’essai en comparaison avec les plans composites centrés [MIN18]. D’autres constructions sont possibles, décrites en [FRA08], l’objectif étant toujours d’obtenir une fiabilité de la réponse à un coût moindre.
Pour chaque facteur, le plan de Box-Behnken prend en compte trois niveaux uniquement du domaine du plan d’expérience défini en amont. Il n’inclut jamais des points aux extrêmes de chaque facteur. Ces matrices sont ensuite complétées d’un point au centre du domaine.
Une illustration des points à réaliser est présentée en figure 8. Les points noirs sont les points d’essais à réaliser dans le domaine de l’étude, lui-même représenté en bleu et déterminé au §2.2.
Des logiciels tel que Design Expert ® ou Minitab ® peuvent aider à déterminer la matrice de plan d’expérience.
Dans le cadre de l'exemple, la matrice des essais est détaillée dans le tableau 4.
Tableau 4 : Matrice d’essais à réaliser
4. Réaliser les essais
Le plan d’expérience peut à présent être réalisé.
Réaliser les essais conformément au plan d’expérience défini est la plus grande difficulté de la démarche, car elle requiert rigueur, organisation et la démarche est chronophage.
Les essais doivent être réalisés dans l’ordre et dupliqués. La duplication des essais permet d’ajuster la fiabilité des résultats. Il est recommandé de répéter chaque configuration trois fois.
Chaque réponse doit être mesurée et les essais non destructifs répétés pour améliorer la fiabilité de la réponse.
Après réalisation des essais, le tableau de la matrice de plan d’expérience est complétée par les réponses obtenues (tableau 5).
Tableau 5 : Plan d’expérience complété avec les réponses
5. Analyse des résultats
Comme décrit précédemment, l’analyse des résultats se fait à partir d’un modèle quadratique.
Pour chaque réponse :
- aspect visuel
- tenue mécanique
- aspect de la rupture
correspond une loi répondant au modèle quadratique polynomial [eq 1.1].
La complexité du modèle pour chaque réponse peut être réduite en fonction des coefficients obtenus, dans le cas où les coefficients régissant les termes de courbure sont quasi nuls le modèle est simplifié. L’utilisation de DesignExpert ® ou Minitab ® permet de traiter les résultats afin d’obtenir les lois de comportement.
L’analyse du modèle est ensuite basée sur l’analyse des résidus rij.
Le résidu correspond à la différence entre la réponse mesurée Yij (pour la réplication j du numéro d’essai i) et la valeur de la réponse prédite par le modèle Yi.
rij=Yij-Yi [eq 5.1]
L’objectif étant d’avoir pour chaque réponse [VIV16]:
- Le tracé normal des résidus montre que les résidus suivent une distribution normale qui décrit la variation aléatoire du processus.
- La valeur résiduelle par rapport aux valeurs prédites montre une dispersion aléatoire, ce qui signifie que le même niveau de précision est attendu pour les valeurs petites et grandes de la réponse.
- Les résidus par rapport à l'ordre d'exécution sont également aléatoires, ce qui signifie que l'environnement de l'étude n'a pas changé pendant les tests.
- La valeur prédite par rapport à la valeur réelle est répartie le long de l’axe 45 ° et indique une meilleure prédiction pour la résistance mécanique la plus élevée.
Dans ce cas les modèles sont acceptés et la démarche d’optimisation peut être engagée.
6. Optimisation du process
L’optimisation du process s’obtient à l’aide d’une fonction de désirabilité
Pour chaque réponse Yk une fonction de désirabilité dk(Yk) attribue une valeur entre 0 et 1 à la valeur possible de la réponse; 0 étant la réponse la moins désirable et 1 la réponse la plus désirable répondant à tous les critères d’optimisation du process.
Dans l’exemple, l’objectif du plan d’expérience est d’avoir :
- une tenue mécanique maximisée et supérieure à 400N
- un aspect visuel après soudure à 2 (légère indentation visible)
- un aspect visuel du faciès de rupture à 3 (rupture en dehors de la zone brasée)
Les désirabilités individuelles sont ensuites combinée à l’aide d’une moyenne géométrique
Avec Wk, l’importance relative donnée au critère indexé k, avec
D=0 si un des dk est égal à zéro et D=1 si tous les dk=1.
La configuration optimum correspond à la configuration donnant le D le plus élevé.
Le résultat obtenue dans le cas du brasage par résistance est donné ci-dessous.
7. Validation
La configuration optimum est souvent une configuration située en dehors de la matrice du plan d’expérience. En effet, la configuration optimum (point rouge dans figure 9), n’est pas un point de la matrice du plan d’expérience. De ce fait, cet optimum doit être confirmé et validé.
La pratique, dans le cas de la soudure, est de répéter les soudures 30 fois dans la configuration optimum et dans les temps de cycle du process et de confirmer que les tenues mécaniques sont toujours supérieures à 400N.
8. Conclusion
La pratique des plans d’expériences à l'ère du big data reste une méthode clef dans la recherche d’une robustesse industrielle. Les outils du lean 6 sigma apportent une efficacité rapide sur le terrain. Après plusieurs mois de production, les données de traçabilité dans le cadre du big data pourront donner des pistes supplémentaires d’optimisation avec la mise en place d’algorithmes de machine learning, en plus des remontées issues du terrain.
BIBLIOGRAPHIE
[SAB06] | R. SABRE, planification expérimentale en agroalimentaire, Techniques de l’ingénieur, 2006, F1005
[BID16] L. BIDI et al., Etude de l’influence des paramètres opératoires sur la morphologie des cordons de soudure - cas de soudage hybride (laser/mig), ICEMAEP2016, 2016
[MAT00] D. MATHIEU, R. PHAN-TAN-LUU, Planification d’éprience en formulation : criblage, Techniques de l’ingénieur 2000, J2240
[KAR04] S. KARAM, Application de la méthodologie des plans d’expériences et de l’analyse de données à l’optimisation des processus de dépôt, thèse de doctorat soutenue le 26 novembre 2004 à Limoges
[DUP12] F. DUPRAT et al.,Surfaces de réponse physiques et polynomiales, Fiabilité des ouvrages Sûretés, variabilité, maintenance, sécurité, pp. 165-193, 2012
[VIV16] L. Vivet (GSI-RD-H01-0000-424 Process optimization Standard)
[MIN18]https://support.minitab.com/fr-fr/minitab/18/help-and-how-to/modeling-statistics/doe/supporting-topics/response-surface-designs/response-surface-central-composite-and-box-behnken-designs/#what-is-a-box-behnken-design
L’autrice :
Claire SCHAYES est docteure en sciences des matériaux. Elle a démarré chez Valeo en R&D. Elle a alors défini une méthode de prédiction du comportement en fatigue d’un acier utilisé dans les rotors d’alternateurs. Le but étant de pouvoir dessiner le rotor au plus juste au regard de la fiabilité mécanique de celui-ci. Aujourd’hui elle utilise ses connaissances théoriques en matériaux sur le choix des technologies, le choix des matériaux et la mise en production des procédés de brasage par résistance et soudage LASER. Utilisant DESIGN EXPERT, et en permanence sur le terrain, elle témoigne ici de sa pratique et de ses conclusions entre prédiction et réalité du terrain.
